Folha de Exercícios — 9.º ano (20 questões, com explicações e gabarito)
Abaixo há 20 questões organizadas por blocos (inequações 1.º grau, problemas lineares, equações do 2.º grau, funções e inequações do 2.º grau). Para cada bloco há uma breve explicação do método antes das questões. Resolva à mão primeiro; o gabarito com respostas e comentários está no final.
Trecho do material de apoio: “Conceituação: São sentenças matemáticas abertas, expressas por uma desigualdade …, onde a variável em questão possui grau máximo unitário.” Trecho do material de apoio: “É toda sentença matemática aberta do tipo ax2+bx+c=0 com a≠0 e b,c∈R, onde x é a variável em questão.”
1 — Inequações do 1.º grau (4 exercícios)
Método: isole x (passando termos com x para um lado e constantes para o outro). Ao multiplicar ou dividir por número negativo, inverta o sinal da desigualdade.
- 8x+10≥4x−18.
- x−4>2x+8.
- 3x−52≤x−1.
- Resolva e escreva em forma de intervalo: −2(3x−1)<4x+5.
2 — Inequações racionais e produto (3 exercícios)
Método: escreva numerador e denominador em fatores, encontre zeros (numerador) e pontos proibidos (denominador), marque-os na reta e estude sinais por intervalos.
- 2x−8−4x−2≥0.
- (x+2)(x−3)(x−1)>0.
- x2−9x+1≤0.
3 — Sistemas de inequações e contagem inteira (2 exercícios)
Método: resolva cada inequação separadamente e faça a interseção dos intervalos; para contar inteiros, verifique quais inteiros pertencem ao intervalo.
- Resolva o sistema: \(\begin{cases}4x<12\
\[4pt]x>2\end{cases}\).
- Quantos inteiros satisfazem o sistema \(\begin{cases}3x+4>19\
\[4pt]5x+4<34\end{cases}\)?
4 — Problemas do 1.º grau (4 exercícios)
Método: modele com variável, monte equação linear e resolva.
- Dois amigos têm juntos 80 selos; o mais velho tem o triplo do mais novo. Quantos selos tem o mais velho?
- Um aluno fez 30 exercícios; ganha 5 pontos por acerto e perde 3 por erro. Ao final tem 110 pontos. Quantos acertou?
- Um lápis: no 1.º mês gastou 1/5; no 2.º mês gastou 5/8 do que restou; sobraram 4,5 cm. Qual era o comprimento inicial?
- Um comerciante vendeu 385 “metros” usando um metro de 97 cm. Quantos metros reais (em metros) a clientela foi lesada? (responda em metros).
5 — Equações do 2.º grau (3 exercícios)
Método: use Bhaskara (Δ=b2−4ac) ou fatoração; verifique soma e produto das raízes quando pedido.
- Resolva x2−6x+9=0.
- Resolva 4×2−9x+2=0 e calcule soma e produto das raízes.
- Resolva x4−8×2+15=0 (faça a substituição y=x2).
6 — Funções e gráficos (2 exercícios)
Método: para função afim calcule valores substituindo x; para quadrática, fatorar ajuda a encontrar raízes e vértice.
- Dada f(x)=2x−1, calcule f(2),f(−1),f(0).
- Fatore f(x)=x2−6x+9, identifique raiz(es) e vértice.
7 — Inequações do 2.º grau (2 exercícios)
Método: calcule raízes da quadrática, marque na reta e escolha intervalos onde o polinômio tem sinal pedido (parábola para cima se a>0).
- Resolva x2−5x+6≤0.
- Resolva (x2−4x+4)(2x−4)<0.
Instruções finais
- Resolva cada questão mostrando os passos (isolamento de x, fatoração, cálculo de Δ, estudo de sinal).
- Para as inequações racionais, não inclua pontos onde o denominador é zero.
- Use a reta numérica para os exercícios de estudo de sinal sempre que possível.
Gabarito com comentários (respostas e explicações curtas)
1. 8x+10≥4x−18 8x−4x≥−18−10⇒4x≥−28⇒x≥−7. Resposta: x≥−7.
2. x−4>2x+8 x−2x>8+4⇒−x>12⇒x<−12. Resposta: x<−12.
3. 3x−52≤x−1 Multiplique por 2: 3x−5≤2x−2⇒3x−2x≤−2+5⇒x≤3. Resposta: x≤3.
4. −2(3x−1)<4x+5 −6x+2<4x+5⇒−6x−4x<5−2⇒−10x<3⇒x>−310. Resposta: x>−0,3.
5. 2x−8−4x−2≥0 Zeros: numerador 2x−8=0⇒x=4. Denominador −4x−2=0⇒x=−12 (proibido). Estudo de sinais dá solução −12<x≤4. Resposta: x∈(−12, 4].
6. (x+2)(x−3)(x−1)>0 Raízes: −2,1,3. Estudo de sinais por intervalos: produto positivo em (−∞,−2)∪(1,3). Resposta: x∈(−∞,−2)∪(1,3).
7. x2−9x+1≤0 Fatore: (x−3)(x+3)x+1≤0. Zeros: −3,3; proibido: −1. Estudo de sinais: solução [−3,−1)∪(−1,3] com atenção a inclusão de −3 e 3 (numerador zero → incluídos). Resposta: x∈[−3,−1)∪(−1,3].
8. Sistema: 4x<12⇒x<3. x>2. Interseção: 2<x<3. Resposta: 2<x<3.
9. Sistema do enunciado: 3x+4>19⇒x>5. 5x+4<34⇒x<6. Interseção: 5<x<6. Não há inteiros nesse intervalo. Resposta: 0 inteiros.
10. Selos: seja y do mais novo. y+3y=80⇒4y=80⇒y=20. Mais velho =3⋅20=60. Resposta: 60.
11. a+e=30 e 5a−3e=110. Substituindo e=30−a: 5a−3(30−a)=110⇒5a−90+3a=110⇒8a=200⇒a=25. Resposta: 25 acertos.
12. Lápis: seja L comprimento inicial. Após 1.º mês resta L(1−15)=45L. No 2.º mês gasta 5/8 do restante → sobra 38⋅45L=1240L=310L. Isso é 4,5 cm. Logo 310L=4,5⇒L=4,5⋅103=15 cm. Resposta: 15 cm.
13. Cada “metro” vendido tinha 97 cm em vez de 100 cm, ou seja, faltaram 3 cm por “metro” vendido. Para 385 “metros” a perda total é 385×3 cm=1155 cm=11,55 m. Resposta: 11,55 metros.
14. x2−6x+9=(x−3)2=0⇒x=3 (raiz dupla). Resposta: x=3.
15. 4×2−9x+2=0. Δ=81−32=49. x=9±78⇒x1=2, x2=14. Soma =2+14=94. Produto =2⋅14=12. Resposta: x=2, 14; soma 94; produto 12.
16. x4−8×2+15=0. Substitua y=x2: y2−8y+15=0⇒(y−3)(y−5)=0⇒y=3 ou y=5. Então x2=3⇒x=±3; x2=5⇒x=±5. Resposta: x=±3, ±5.
17. f(x)=2x−1. f(2)=3. f(−1)=−3. f(0)=−1. Resposta: 3, −3, −1.
18. x2−6x+9=(x−3)2. Raiz: x=3 (dupla). Vértice: (3,0). Resposta: fatoração (x−3)2; raiz 3; vértice (3,0).
19. x2−5x+6≤0. Raízes: x=2 e x=3. Como a=1>0, a parábola está acima fora das raízes; entre as raízes é ≤0. Resposta: 2≤x≤3.
20. (x2−4x+4)(2x−4)<0. Note que x2−4x+4=(x−2)2 (sempre ≥0) e 2x−4=2(x−2). O produto é 2(x−2)3. Um cubo de (x−2) tem mesmo sinal de (x−2), mas o quadrado anula mudanças de sinal no primeiro fator; analisando, o produto é negativo quando (x−2)<0 e o fator cúbico dá negativo — porém o quadrado torna o comportamento tal que o produto estritamente negativo não ocorre exceto por sinais de multiplicidade ímpar; aqui o produto simplifica para 2(x−2)3 que é negativo para x<2.
Contudo atenção: fator original tem multiplicidade: raiz x=2 é zero do numerador e do denominador? Não há denominador.
Conclusão direta: 2(x−2)3<0⇒x<2. Mas como os fatores originais mostram multiplicidade, verificar: para x<2 o produto é negativo. Resposta: x<2.
